مفتاح الحساب/المقالة الرابعة/الباب الرابع/الفصل الثاني

الفصل الثاني
في مساحة الدائرة واستخراج المحيط عن القطر وبالعكس

ولنقدمة في الفصل ثم نشرح في المساحة أعلم أن المحيط ثلاثة أمثال القطر وكسر وهو أقل من سبع القطر لكن القوم أخذوه سبعا لسهولة الحساب وقال ارشميدس ذلك الكسر أقل من السبع وأكثر من عشرة أجزاء من أحد وسبعين وعلى ما حصلنا وذكرناه في رسالتنا المسماة بالمحيطية وهو جـ ح كط مد ثالثة بعد طرح الروابع وما بعدها إذا كان القطر واحد وهذا أدق من حساب ارشميدس بكثير على ما بيناه في الرسالة المذكورة وأقرب منه إلى الصواب لكنه لا يعرف بالحقيقة إلا الله تبارك وتعالى فإذا كان قطر دائرة معلومًا ومحيطها مجهولا نضرب القطر في ذلك العدد ليحصل المحيط وإن كان بالعكس نقسم المحيط على ذلك العدد ليخرج القطر

وإن كانا مجهولين نضع على المحيط نقطتين كيف اتفق وتدير عليهما دائرتين متساويتين بحيث تتقاطعان ونصل بين هذين التقاطعين خطا مستقيما ونخرجه إلى أن يتصل إلى المحيط في الجهتين فهو القطر هكذا وإن كانت المساحة معلومة نضربهما في يد ونقسم الحاصل على يا ونأخذ جذر الخارج فهو القطر أو نضربها في السبعة ونقسم الحاصل على كب ونأخذ جذر الخارج فهو نصف القطر وهما بحساب المشهور

وأما بحسابنا فنقسم المساحة على جـ ح كط مد ثلاثة ونأخذ جذر الخارج فهو القطر وأن نقسم المساحة على ؛ مز ز كو ثالثة ونأخذ جذر الخارج يحصل نصف القطر، ولنا حيلة في تحصيل ذرعان المحيط وهي أن نطبق خيطاً عليها ثم نمسح الخيط أو نضع أحد راسي الضلع على نقطة من المحيط وتحرك الذراع بحيث يماس جزء فجزء منه على محيطها إلى أن يمسح الجميع وأما المساحة فنضرب نصف القطر في نصف المحيط يحصل المساحة.

نوع أخر نضرب مربع نصف القطر في نسبة المحيط إلى القطر اعني في ثلاثة وسبع بالحساب المشهور أو بأن نضربه في 22 ونقسم الحاصل على 7 وبحسابنا في جـ ح كط مد ثالثة فما خرج فهو المساحة

طريق أخر نضرب مربع القطر في أحد عشر ونقسم الحاصل على أربعة عشر فما خرج فهو المساحة بالحساب المشهور وبحسابنا نضربه في ؛ مز ز كو ثالثه وهو نسبة المساحة إلى مربع القطر يحصل المطلوب وهذا العدد ربع العدد الأول لإن نسبة مساحة الدائرة إلى مربع نصف القطر كنسبة العدد الأول وهو جـ ح كط مد ثالثة إلى الواحد ونسبة مربع نصف القطر إلى مربع القطر هي نسبة الربع وقد وضعنا حواصل ضروب هذين العددين في الأرقام الستنية في جدول لسهولة العمل وحولناها أيضاً إلى الرقوم الهندية والجدول هذا

تضاعيف نسبة المحيط إلى القطر بالرقوم الجمل						تضاعيف نسبة مساحة الدائرة إلى مربع قطر بالرقوم الجمل
القطر	المحيط					المحيط
	مرفوعه	أجزاء	دقائقة	ثوانية	ثوالثة	أجزاء	دقائقة	ثوانية	ثوالثة
ا	؛	جـ	ح	كط	مد	؛	مز	ز	كو
ب	؛	و	يو	نط	كح	ا	لد	يد	نب
جـ	؛	ط	كه	كط	يب	ب	كا	كب	يح
د	؛	يب	لجـ	نح	نو	جـ	ح	كط	مد
هـ	؛	يه	مب	كح	م	جـ	نه	لز	ي
و	؛	يح	ن	نح	كد	د	مب	مد	لو
ز	؛	كا	نط	كح	ح	هـ	كط	نب	ب
ح	؛	كه	ز	نز	نب	و	يو	نط	كح
ط	؛	كح	يو	كز	لو	ز	د	و	ند
ي	؛	لا	كد	نز	كـ	ز	نا	يد	كـ
يا	؛	لد	لجـ	كز	د	ح	لح	كا	مو
يب	؛	لز	ما	نو	مح	ط	كه	كط	يب
يجـ	؛	م	ن	كو	لب	ي	يب	لو	لح
يد	؛	مجـ	نح	نو	يو	ي	نط	مد	د
يه	؛	مز	ز	كو	؛	يا	مو	نا	ل
يو	؛	ن	يه	نه	مد	يب	لجـ	نح	نو
يز	؛	نجـ	كد	كه	كح	يجـ	كا	و	كب
يح	؛	نو	لب	نه	يب	يد	ح	يجـ	مح
يط	؛	نط	ما	كد	نو	يد	نه	كا	يد
كـ	ا	ب	مط	ند	م	يه	مب	كح	م
كا	ا	هـ	نح	كد	كد	يو	كط	لو	و
كب	ا	ط	و	ند	ح	يز	يو	مجـ	لب
كجـ	ا	يب	يه	كجـ	نب	يح	جـ	ن	نح
كد	ا	يه	كجـ	نجـ	لو	يح	ن	نح	كد
كه	ا	يح	لب	كجـ	كـ	يط	لح	هـ	ن
كو	ا	كا	م	نجـ	د	كـ	كه	يجـ	يو
كز	ا	كد	مط	كب	مح	كا	يب	كـ	مب
كح	ا	كز	نز	نب	لب	كا	نط	كح	ح
كط	ا	لا	و	كب	يو	كب	مو	له	لد
ل	ا	لد	يد	نب	؛	كجـ	لجـ	مجـ	؛
لا	ا	لز	كجـ	كا	مد	كد	كـ	ن	كو
لب	ا	م	لا	نا	كح	كه	ز	نز	نب
لجـ	ا	مجـ	م	كا	يب	كه	نه	هـ	يح
لد	ا	مو	مح	ن	نو	كو	مب	يب	مد
له	ا	مط	نز	كـ	م	كز	كط	كـ	ي
لو	ا	نجـ	هـ	ن	كد	كح	يو	كز	لو
لز	ا	نو	يد	كـ	ح	كط	جـ	له	ب
لح	ا	نط	كب	مط	نب	كط	ن	مب	كح
لط	ب	ب	لا	يط	لو	ل	لز	مط	ند
م	ب	هـ	لط	مط	كـ	لا	كد	نز	كـ
ما	ب	ح	مح	يط	د	لب	يب	د	مو
مب	ب	يا	نو	مح	مح	لب	نط	يب	يب
مجـ	ب	يه	هـ	يح	لب	لجـ	مو	يط	لح
مد	ب	يح	يجـ	مح	يو	لد	لجـ	كز	د
مه	ب	كا	كب	يح	؛	له	كـ	لد	ل
مو	ب	كد	ل	مز	مد	لو	ز	ما	نو
مز	ب	كز	لط	يز	كح	لو	ند	مط	كب
مح	ب	ل	مز	مز	يب	لز	ما	نو	مح
مط	ب	لجـ	نو	يو	نو	لح	كط	د	يد
ن	ب	لز	د	مو	م	لط	يو	يا	م
نا	ب	م	يجـ	يو	كد	م	جـ	يط	و
نب	ب	مجـ	كا	مو	ح	م	ن	كو	لب
نجـ	ب	مو	ل	يه	نب	ما	لز	لجـ	نح
ند	ب	مط	لح	مه	لو	مب	كد	ما	كد
نه	ب	نب	مز	يه	كـ	مجـ	يا	مح	ن
نو	ب	نه	نه	مه	د	مجـ	نح	نو	يو
نز	ب	نط	د	يد	مح	مد	مو	جـ	مب
نح	جـ	ب	يب	مد	لب	مه	لجـ	يا	ح
نط	جـ	هـ	كا	يد	يو	مو	كـ	يح	لد
س	جـ	ح	كط	مد	؛	مز	ز	كو	؛

تضاعيف نسبة المحيط إلى القطر بالرقوم الهندية									تضاعيف نسبة مساحة الدائرة إلى مربع قطر بالرقوم الهندية
القطر	المحيط								المساحة
	سادسها	خامسها	رابعها	ثالثها	ثانيها	الاعشار	الصحاح		ثامنها	سابعها	سادسها	خامسها	رابعها	ثالثها	ثانيها	الاعشار	الصحاح
1	3	9	5	1	4	1	3		5	2	8	9	3	5	8	7	0
2	6	8	1	3	8	2	6		0	5	6	9	7	0	7	5	1
3	9	7	7	4	2	4	9		5	7	4	9	1	6	5	3	2
4	2	7	3	6	6	5	12		0	0	3	9	5	1	4	1	3
5	5	6	9	7	0	7	15		5	2	1	9	9	6	2	9	3
6	8	5	5	9	4	8	18		0	5	9	8	3	2	1	7	4
7	1	5	1	1	9	9	21		5	7	7	8	7	7	9	4	5
8	4	4	7	2	3	1	25		0	0	6	8	1	3	8	2	6
9	7	3	3	4	7	2	28		5	2	4	8	5	8	6	0	7
10	0	3	9	5	1	4	13		0	5	2	8	9	3	5	8	7

مثال مساحة يكون نصف قطرها سبعة وسبعين ذراعًا فيما ذهب إليه القوم ضربناه في

3

1

7

بأن ضربناه في الكسر المجنس وهو 22 حصل 1694 قسمنا على المخرج وهو سبعة خرج من القسمة 242 وهو نصف المحيط تقريبًا أو بأن نضربه تارة في الثلاثة حصل 231 وتارة في السُبْعِ حصل 11 جمعناهما حصل 242 وهو نصف المحيط وإن كان المحيط معلومًا

وأوردنا معرفة نصف القطر نضرب نصف المحيط وليكن 242 في 2275 بأن نضربه في الكسر وهو سبعة وقسمنا الحاصل على 22 المخرج خرج من القسمة 77 وهو نصف القطر فضربنا نصف القطر في نصف المحيط حصل 18634 وهو المساحة

طريق أخرى نربع القطر وهو 154 حصل 23716 نضربه في 11 حصل 260876 قسمناه على 14 خرج من القسمة 18634 مطابقًا للأول ثم عملنا برقوم الجمل هكذا

ضربنا نصف القطر وهو ا يز ذراعًا في كب حصل كح يد قسمناه على ز إن كانت نسبة القطر إلى المحيط حسب مدعائهم نسبة السبعة إلى اثنين وعشرين فخرج من القسمة د ب ذراعًا وهو نصف المحيط ضربناه في نصف القطر حصل هـ ي لد ذراعًا وهو مرفوع ذراعان المساحة مطابقا للأول وإما على ما استقصينا فضربنا ا يز نصف القطر في نسبة المحيط إلى القطر وهذه المساحة أدق مما حصل بالحساب المشهور منه بسبعة أذرع و نصف تقريبًا

بأن دخلنا بالجدول اخذنا بإزاء ا فكان	؛	جـ	ح	كط	مد
ثم أخذنا بإزاء يز وضعناه تحته منحطًَا بمرتبة		؛	نجـ	كد	كه	كح
جمعناهما صار نصف المحيط		د	ا	ند	ط	كح
ضربناه في ا يز ثانيا حصل المساحة	هـ	ي	كو	ل	ح	نو
أسماء المراتب	مرفوع مرتين	مرفوع مرة	ذراع	دقـيـقـة	ثـانـيـة	ثـالـثـة
	الذرعان			الكسور

طريق آخر ربعنا القطر صار و له يو ضربنا في نسبة الدائرة إلى مربع القطر حصل هـ ي كو ل ح نو ثالثة

وفيما كانت المساحة معلومة وأردنا معرفة القطر قسمناها وهي ما سبق على ؛ مز ز كو ثالثة عملنا بالجدول هكذا

	هـ	ي	كو	ل	ح	نو
و	د	يب	مد	لو
		كز	ما	ند
له		كز	كط	كـ	ي
			يب	لجـ	نح
يو			يب	لجـ	نح	نو

فخرج من القسمة و له يو أخذنا جذره فكان ب لد وهو مائة واربعة وخمسون وأما العمل بالرقوم الهندية فهكذا

اخذنا بإزاء 7 فكان	1	5	1	1	9	9	1	2
ثم أخذنا بإزاء 7 التي في العشرات		1	5	1	1	9	9	1	2
جمعناهما حصل نصف المحيط	1	6	6	2	0	9	1	4	2
ضربناه في 77 حصلت المساحة	7	9	8	4	0	5	6	2	6	8	1
أسماء المراتب	سادس الأعشار	خامسها	رابعها	ثالثها	ثانيها	الأعشار	الآحاد	العشرات	المئات	الألوف	عشرات الألوف
	الكسور						الصحاح

طريق أخر كان مربع القطر 23716 أخذنا بإزاء كل واحد من مفرداته من جدول نسبة المساحة إلى مربع القطر وضعناه متدرجا هكذا

2					0	5	6	9	7	0	7	5	1
3				5	7	4	9	1	6	5	3	2
7			5	7	7	8	7	7	9	4	5
1		5	2	8	9	3	5	8	7
6	0	5	9	8	3	2	1	7	4
	0	0	7	9	8	4	0	5	6	2	6	8	1
	الكسور								الصحاح

وقد ستبطنا الكلام في كيفية العمل هذه الجداول في رسالتنا الموسومة بالمحيطية