مفتاح الحساب/المقالة الثانية/الباب السابع
في التضعيف والتنصيف والجمع والتفريق
أما التضعيف فينظر إلى المخرج أن كان فرداً نضعف الكسر ونقسم الحاصل على المخرج أي ننظر إليه فإن زاد من المخرج نرفع منه مثل المخرج بواحد نضعه مكان الصحاح إن لم يكن معه وإلا نزيده على ضعف الصحاح وما بقي نضعه مكان الكسر وننسبه إلى المخرج وإن كان المخرج زوجاً ننصفه ونقسم الكسر عليه أي على النصف كما يقتضي الحساب مثاله إردنا أن نضعف خمسة أسداس وضعناه هكذا
| 0 |
| 5 |
| 6 |
نصفنا المخرج فصار ثلاثة وقسمنا الكسر عليها فصار بعد الرفع هكذا
| 1 |
| 2 |
| 3 |
وهو المطلوب مثال آخر في تضعيف ثمانية وأربعة أسباع وضعناه هكذا
| 8 |
| 4 |
| 7 |
ضعفناه صار هكذا
| 17 |
| 1 |
| 7 |
وأما التنصيف فنظر إلى الكسر فإن كان زوجاً ننصفه وإلا نضعف المخرج وأما إن كان معه صحاح فإن كانت زوجاً ننصفها وننصف الكسر كما ذكرنا وإن كانت فرداً ننصفها ونضع ما صح في موضعه ونزيد للواحد الباقي المخرج على الكسر ثم ننصف المجموع أو نضعف المخرج على ما ذكرنا مثاله أردنا أن ننصف ثلاثة أرباع وصورتها
| 0 |
| 3 |
| 4 |
ضعفنا مخرجها فصار
| 0 |
| 3 |
| 8 |
مثاله آخر تسعة وثلاثة أخماس وهي
| 9 |
| 3 |
| 5 |
فنصفنا التسعة وقد خرج أربعة صحاح وضعناها مكان الصحاح وزدنا للواحد الباقي من الصحاح مقدار المخرج على الكسر فبلغ ثمانية نصفناها فصارت أربعة وضعناها مكان الكسر والمخرج كما كان هكذا
| 4 |
| 4 |
| 5 |
وأما الجمع وهو إما أن يكون بين اثنين أو أكثر فنوحد المخارج بضرب التأريخ أن اختلفت ونجمع الكسور والمتخذة من المخرج المشترك ونقسم المجموع على المخرج المشترك ونضع الخارج مكان الصحاح وإن بقي شيء يكون كسراً من المخرج المشترك فإن لم يكونا متباينين فردهما إلى أقل عددين على نسبتهما
مثاله أردنا أن نجمع بين ثلاثة أرباع وستة أسباع وضعناهما هكذا
| 0 | 0 |
| 3 | 6 |
| 4 | 7 |
وبعد اتحاد المخرجين صار هكذا
| 0 | 0 |
| 21 | 24 |
| 28 | 28 |
ثم جمعنا الكسرين وقسمنا المجموع على المخرج المشترك صار هكذا
| 1 |
| 17 |
| 28 |
هو المطلوب مثال آخر نريد أن نجمع بين هذه الأعداد الأربعة
| 2 | 0 | 3 | 5 |
| 1 | 3 | 5 | 0 |
| 2 | 4 | 6 | 0 |
وبعد ضرب التأريخ لتوحيد المخارج صار
| 2 | 0 | 3 | 5 |
| 6 | 9 | 10 | 0 |
| 12 | 12 | 12 | 0 |
ثم جمعنا الصحاح حصلت عشرة وجمعنا الكسور الثلاثة حصلت خمسة وعشرون قسمناها على المخرج المشترك خرج اثنان زدناهما على العشرة بلغ اثنا عشر صحاحاً وبقي واحد نسبناه إلى المخرج المشترك فكان
| 12 |
| 1 |
| 12 |
وهو المطلوب وأما التفريق فنوجد المخرجين إن كانا مختلفين ثم ننقص الكسر من الكسر أعني المأخوذين من المخرج المشترك فإن بقي شيء فهو كسر من المخرج المشترك
مثاله أردنا أن ننقص ثلاثة أرباع من خمسة أسداس وضعناهما هكذا
| 0 | 0 |
| 3 | 5 |
| 4 | 6 |
ثم جعلناهما بضرب التأريخ هكذا
| 0 | 0 |
| 9 | 10 |
| 12 | 12 |
ثم نقصنا التسعة من العشرة بقي
| 0 |
| 1 |
| 12 |
وهو المطلوب وإن كان مع المنقوص من صحاح أو مع كليهما وبعد اتحاد المخرجين يكون كسر المنقوص أكثر من كسر المنقوص منه ينقص من صحاح المنقوص منه واحداً ويجعله كسور أو نضمها مع الكسر أي نزيد مخرجه على كسره ثم ننقص الكسر من ذلك الكسر مثاله اردنا أن ننقص ثلاثة ونصفا من ستة وثلاثة أثمان صورتهما هكذا
| 3 | 6 |
| 1 | 3 |
| 2 | 8 |
وبعد اتحاد المخرجين صار
| 3 | 6 |
| 4 | 3 |
| 8 | 8 |
ولما كان كسر المنقوص أكثر من كسر المنقوص منه نقصنا من صحاح المنقوص منه واحداً فبقيت هناك خمسة وجعلنا الواحد كسوراً حصلت ثمانية زدناها على الثلاثة بـلغ أحد عشر نقصنا منه كسر المنقوص الذي هو أربعة بقي سبعة وضعناها مكان الكسر هكذا
| 5 |
| 7 |
| 8 |
وهو المطلوب