رقائق الحقائق في حساب الدرج والدقائق/الباب السابع
في معرفة القسمة وهي طلب مقدار نسبة إلى المقسوم كنسبة الواحد إلى المقسوم عليه أو معرفة ما في المقسوم من أمثال المقسوم عليه والمراد هنا ما يخص الدرجة الواحدة من المقسوم، وهي إمّا قسمة مفرد أو قسمة مركب على مفرد أو مفرد على مركب أو مركب على مركب فهي أربع أقسام ونريد بالمفرد ما كان من مرتبة واحدة وبالمركب ما كان من مرتبتين فأكثر وينبغي في وضع جميع الأقسام أن تضع المقسوم عليه تحت المقسوم فإن كانا مركبين فكل رتبة تحت نظيرتها والأحسن أن تضع أول المقسوم عليه تحت أول المقسوم وإن لم يكن من منزلته ثم تمد تحتها خطاً لتضع تحته الجواب
القسم الأول قسمة مفرد على مفرد وطريقة أن تفتح جدول المقسوم عليه ثم إن كان المقسوم أقل من المقسوم عليه فانظر في أعداد مرفوع الجدول ما يساويه بحيث يكون بإزائه في المنحط صفر وإن كان أكثر فانظر في أعداد منحطة ما يساويه بحيث يكون بإزائه في مرفوعه صفر، فإذا وجدته خذ ما يحاذيه من عدد الطول فهو خارج القسمة فلو قسمنا م على مح خرج ن، أو مه على ط خرج هـ، أو أ على ب خرج ل، أو على د خرج يه فلو لم تجد ما يساوي المقسوم فانظر في مرفوع الجدول ومنحطة ما يقاربه مما هو أقل منه وخذ ما يحاذيه من عدد الطول وأثبته في سطر ثم اسقط القدر الأقل من المقسوم وادخل بالباقي في الجدول وافعل به كما فعلت اولاً وخذ ما يقابله وضعه عن يسار الموضوع اولا في سطره فهما الجواب كما في مه على ل يخرج أ ل فلو فضل شيء آخر، فافعل به كذلك وهكذا حتى لا يبقى شيء أو بقية لا يحتاج إليها كما في نز على يا كلاهما درج يخرج هـ ي ند ويفضل و ثوان لا يحتاج إلى قسمتها تركناها لعدم الفائدة، واعلم أن المقسوم متى كان أكثر من المقسوم عليه فجنس الجواب مطابق لما تقدم من التقسيم في الباب السابق وإن كان أقل، فالجواب منحط عما تقدم رتبة دائماً فلو كان الجواب ذا مراتب فالعبرة بأولها والباقي منحط عنها بحسبه وهكذا في سائرا قسام الباب وانواعه ومتى كان المقسوم أقل من المقسوم عليه كان جوابه منحطاً رتبة عما في الباب السابق ويسمى هذا النوع بالقسمة منحطاً.
القسم الثاني قسمة المركب على المفرد وطريقة أن تفتح جدول المقسوم عليه وتنظر إلى اعلا مراتب المقسوم إن كانت اقل من المقسوم عليه فانظر في مرفوع الجدول ومنحطة ما يساوي المقسوم أو ما يقاربه مما هو أقل منه إن كان ذا مرتبتين فقط فإذا وجدته خذ ما يحاذيه من عدد الطول فهو الجواب منحطاً كما في لو مه على مه يخرج مط منحطاً، ومتى فضل من المقسوم شيء فاثبت فاضل كل رتبة فوقها دائماً واشطبها ثم انظر الفاضل في الجدول وخذ ما يوازيه كما مر وهكذا حتى لا يبقى شيء أو قدر لا يحتاج إليه ففي كا م على ل يخرج مجـ كـ وإن كان أعلا مراتب المقسوم مثل المقسوم عليه أو أكثر فقدم على المقسوم صفراً تقديراً أو نظر في مرفوع الجدول ومنحطة ما يساوي الصفر والمرتبة الأولى وخذ ما يقابله من عدد الطول وأثبته تحت الخط ثم انظر ما يساوي الثانية على ما تقدم في قسمة المفرد أو ما يساوي فضلة الأولى إن كانت مع الثانية وخذ ما يقابله من عدد الطول واضفه إلى الأول في سطره يحصل الجواب ففي مه كز على ط يخرج هـ جـ وفي مه ن على ي يخرج د له فإن فضل شيء آخر فانظر في الجدول ما يساويه أو يقاربه وخذ ما يحاذيه كما تقدم ففي مه مح على ي يخرج د لد مح فلو كان المقسوم أكثر من مرتبتين فانظر أولا بين الأولى والثانية فإن انقسمتا فانظر بين الثالثة والرابعة إن كانت وهكذا تعتبر الفضلة وفضلتها على ما مروا لنظر بين مرتبتين فقط دائماً فلو قسمنا له ن كه على كـ خرج أ مز لا يه وامتحان أنواع القسمة مطلقا بضرب الجواب في المقسوم عليه فإن ساوى حاصله المقسوم فالجواب صحيح والا فأعد العمل ومتى فضل من المقسوم شيء حال القسمة فيجب جمعه إلى حاصل الضرب فإن ساوى مجموعهما المقسوم صح العمل وإلا فلا.
تنبيه إذا قسمت من السطر مرتبتين أو مرتبة واحدة هي أكثر من المقسوم عليه أو مساوية ولم يفضل من ذلك شيء ثم قسمت المرتبة التي بعدها وكانت أقل من المقسوم عليه فخارجها منحط عن خارج ما قبلها منزلتين فيجب أن تضع بينهما صفراً كما في ي هـ على ي يخرج أ ؛ ل وكما في ب ل جـ كـ على ي يخرج ؛ يه ؛ كـ وكما في كـ جـ كـ على هـ يخرج د ؛ م وكما ب ل جـ على هـ يخرج ؛ ل ؛ يو ثوالث وكما في يا ك يه على كـ يخرج ؛ لد ؛ مه ثوالث فقس على ذلك.
القسم الثالث قسمة المفرد على المركب من مرتبتين أو أكثر سوا كان أول مراتبه واحد أو أكثر وطريقه أن تفتح جدول اعلا مراتب المقسوم عليه وانظر في مرفوعه ومنحطة ما يقارب المقسوم مما هو أقل منه وخذ ما يحاذيه من عدد الطول واضربه في جميع مراتب المقسوم عليه ثم انظر بين حاصل الضرب والمقسوم فإن تساويا فالذي أخذته من عدد الطول هو الجواب كما في ما على كـ ل يخرج ب وفي ز على أ ي يخرج و وفي ن على جـ ز ل يخرج يو وأن زاد حاصل الضرب على المقسوم عليه وقابل بحاصله المقسوم فإن ساواه فالذي أخذته ثانياً هو الجواب وأن زاد خذ أقل منه وهكذا إلى أن يساويه كما في كـ على أ يه يخرج يو ومتى ضربت وكان حاصل الضرب أقل من المقسوم فأثبت ما أخذته من عدد الطول ثم أطرح الحاصل من المقسوم واجعل باقيه فوقه واشطبه وافعل بالباقي ما فعلت بالأصل فإن فضل من فضلة آخرى فافعل بها كذلك إلى أن يفني أو يكتفي بما حصل من التدقيق ففي مط على ي ل يخرج د م فلو كان المقسوم ن كان الخارج د مه ويفضل ز ل دقائق وثوان لا حاجة بنا إلى قسمتها فاكتفينا بذلك.
القسم الرابع قسمة المركب على المركب وهو أكثر استعمالاً في هذا العلم لأن غالب مسائله قسمته درج ودقائق وثوان على درج ودقائق وثوان أو قسمة درج ودقائق على درج ودقائق ونحو ذلك وطريقة كالقسم الثالث أن تفتح ما يساوي المقسوم عليه وانظر في مرفوعه ومنحطة ما يساوي المقسوم أو ما يقاربه وخذ ما يوازيه من عدد الطول وأضربه في جميع المقسوم عليه فإن ساوى حاصله المقسوم فالذي أخذته هو الجواب ففي كـ يو على ن م يخرج كد منحطاً وأن فضل شيء فافعل به كذلك على ما تقدم هذا إن كان المقسوم مرتبتين فقط وهو أقل من المقسوم عليه فإن كان أكثر فانظر إلى ما يساوي أول مراتبه أو ما يقاربه من منحط الجدول خاصة وخذ ما يحاذيه من عدد الطول واضربه وكمل العمل كما مر ففي ن م على كـ يو عكس المثال السابق يخرج ب ل غير منحط.
تنبيه إذا كان اعلا مراتب كل من المقسوم والمقسوم عليه واحدا أو عددا مساوياً للأخر وثاني مراتب المقسوم أقل من ثاني مراتب المقسوم عليه أو صغيرا فمعلوم ان خارج القسمة أقل من واحد فيكون منحطا فاضرب نط منحطاً كقسمة أ لح كـ على أ م وكقسمة يو كجـ كـ على يو م وكذا لو كان المقسوم في الأول أ لط وفي الثاني يو كد وكما في قسمة أ أ على أ ب فإن الخارج ؛ نط والفاضل في الأول والثاني أربعون ثانية وفي الثالث ثانيتان والأحسن في مثل هذا أن يعتبر الخارج واحد مجبورا وان حصل أكثر من المقسوم فاضرب نح في المقسوم عليه فإن زاد فاضرب يز وهكذا حتى تجد ما يساوي حاصله المقسوم أو ما يقاربه فالمضروب هو الجواب كقسمة أ له على ط كـ الجواب ؛ ند وكقسمة أ ل على أ م وكقسمة ط على ط كـ يخرج فيهما ؛ ند فإن فضل شيء من المقسوم واردت التدقيق فلا يخفى عليك العمل وإن كان المقسوم أكثر من مرتبتين فانظر في مرفوع الجدول ومنحطة ما يساوي الأولى والثانية أو ما يقاربهما وخذ ما يحاذيهما من عدد الطول وكمل العمل والنظر بين مرتبتين دائماً كما تقدم في القسم الثاني هذا إن كان اعلا مراتبة أقل من اعلا مراتب المقسوم عليه كما في كـ ل م ن على ما ا كا م يخرج ؛ ل وكما في جـ كز مط ل على م مه يخرج ؛ هـ و فلو كان على هـ و يخرج م مه ثواني فإن كان اعلا مراتبه أكثر من المقسوم عليه فانظر إلى ما يساويها وخذها أو يقاربها من منحط الجدول خاصة وكمل العمل كما في يو كا مد لب على جـ د يخرج هـ كـ ح فلو كانت القسمة في هذا المثال على هـ كـ ح يخرج ح د فإن كان حاصل الضرب زايدا على المقسوم فالجواب أقل مما أخذت فاتركه وخذ اقل منه وكمل العمل.
تنبيه متى انقسم من السطر اولا مرتبة أو مراتب بحيث يبقي مكانها اصفار وفضل منه مرتبة أو مراتب فانظر إلى اعلا مراتب السطر وإلى اعلا فاضله إن كان كل منهما أقل من اول مراتب المقسوم عليه أو كان كل منهما أكثر منها كان الخارج الثاني منحطاً عن الخارج الأول بعدد المراتب المنقسمة دائماً فيجب أن يجعل بينهما اصفاراً بعدة المراتب المنقسمة الا واحداً أبدا كما في ي يجـ لو م يه كـ كه خوامس على ي كـ ل ثوان جوابه جـ ؛ ؛ هـ ثوالث وإن كان اعلا مراتب سطر المقسوم أكثر واعلا فاضله أقل من اول مراتب المقسوم عليه كان الخارج الثاني منحطاً عن الخارج الأول بعدد المراتب المنقسمة وزيادة مرتبة أبدا فيجب أن يوضع بينهما أصفارا بعدة المراتب المنقسمة كاملة كما لا أ ل هـ ي يه على ي كـ ل جوابه جـ ؛ ؛ ؛ ل وكما في كا هـ يه على ي ل يخرج ب ؛ ل فإن كان المقسوم كا ؛ هـ يه كان جوابه ب ؛ ؛ ل وإن كان أول سطر المقسوم أقل من أول سطر المقسوم عليه وكان أول فاصل المقسوم أكثر كان الخارج الثاني منحطاً عن الخارج الأول بعدد المراتب المنقسمة الا واحد دائماً فيجب أن يكون بينهما أصفار تنقص عدتها عن عدة المراتب المنقسمة رتبتين دائماً فعلى هذا إن كانت المراتب المنقسمة رتبتين فقط فلا شيء بينهما وإن كانت ثلاثاً فضع بينهما صفراً وإن كانت اربعاً فضع صفرين أو خمساً فضع ثلاثاً وعلى هذا القياس كما في هـ ي يه ما كب على ي كـ ل يخرج ؛ ل ؛ د فلو كان المقسوم و أ يد ما لب لكان جوابه له ؛ ؛ د وقد يكون بين مراتب السطر المنقسمة وبين فاضله صفراً أو أصفاراً فيجب اعتبارها في الجواب بأن يجمعها إلى عدة المراتب المنقسمة، والله أعلم.